960330之幾何問題-三角形面積 (續)

關於上禮拜的-三角形面積問題，不知各位看倌解出來沒有？
剛一看到這個題目，我以為只有這應該是有其他附註條件的，例如邊長應該都是整數，這樣的話，我們就可以利用直覺來猜測答案，例如假設大正方形的邊長為6平方公分，那麼已知三角形的高就應該為2，由於假設條件為邊長為整數，因此也就可以大膽架設小正方形的邊長為3，如此即可推得未知三角形的面積也為6平方公分。
嘿嘿，有這麼簡單嗎？
還有其他解嗎？
這時，我再假設大正方形的邊長為12，這樣可以嗎？
這樣的話，已知三角形的高就應該為1，按照12比1的條件，我們可以推得小正方形的邊長為12/11，如此則謂之三角形的面積竟也是6平方公分，如此說來，這應該有通解囉！
於是我們試著以代數來算(如下)，結果發現，當兩個正方形以圖示的方式排列，且已知連接左側正方形的左上角與右側正方形的右下角，此一連接線與大正方型底邊所形成的三角形面積為6平方公分時，則另一個三角形的面積恆為6平方公分。

OK，我再就幾何角度來看，那當兩個正方型大小相等時，這個結果依然成立嗎？
那正方形的邊長又該為何？

幾何問題-三角形面積

兩個大小不等的正方形ABCD及CEFG緊鄰，結果量得三角形CBH的面積為6平方公分，
試問三角形DFH的面積為何？

大家動動腦吧！

還記得這張圖嗎？
沒錯，我們要將這個圖形分成四個大小形狀都相同的圖形，然後這四個圖形還可以組成二個正方形。
想出來了嗎？

首先，我們先計算這個圖形的面積，先假設每一個邊長都是1，因此面積就是5囉。
也就是說，重新組合的二個正方形，面積均為5/2。

好，一個正方形的面積為5/2，那他的邊長為何？
就是(5/2)^0.5 [由於不太方便寫數學式，用程式的寫法可以接受嗎？]
也就是(10^0.5)/2 [分子同乘2^0.5]

嗯，根號10要從哪裡來？

這時候我們要用一下畢氏定理，直角三角形的邊常關係為：a^2+b^2=C^2
也就是c=(a^2+b^2)^0.5

好，有沒有什麼數字a與b可以在平方和之後，得到10的？

想出來了嗎？
當然，答案有很多，但是與這個圖形有關的，就是1與3，

對不對，1^2+3^2=10，


也就是說，上圖那條藍色的線長為10^0.5，
一半呢？就是我們要的新正方形的邊長 [(10^0.5)/2]

因此，切割的方式就是下圖：


您答對了嗎？

正方形內的正三角形

各位親愛的朋友，
這個問題你一定會喜歡：

一個邊長為1的正方形，內置一正三角形，三角形的一個角與正方形的一個角重疊，三角形的另二個角，則落於正方形兩個邊上，試問：
斜線面積為何？

幾何分割

陳老師問我，如何將下面這個圖形分成四個大小形狀都相同的圖形，然後這四個圖形還可以組成二個正方形。


這個問題頗有難度，或許你也在哪一本書看過，但是，這次請您用數學的觀點解釋看看！

如何？試試看吧！

反摺的一角

　　『77個好玩得停不下來的數學謎題』一書有個題目--『反摺的一角』，屬於幾何圖形的題目，題目是說有一個正三角形，將△CDE 那一角折起來之後，如下圖，問∠CED 應該是多少？

　　我和 Chad 分別算了一下，我自然而然的用了外角定理，也就是三角形任一外角等於其餘二角的內角合，於是就△ADG 來說，∠ADG + ∠DAG=152度，而∠A 因為是正三角形的一角，於是∠A =60度，也就是說，∠ADG=152-60=92；對直線AC來說，若∠ADG=152-60=92，則∠CDG=180-92=88度。
　　觀察摺痕DE線段，我們可以知道它平分了∠CDG，因此∠CDE=88/2=44度。然而∠C 是正三角形的另一角，因此∠CED=180-44-60=76度。
　　做到這裡，心中不免略微洋洋，誰知道 Chad 竟用最基本的三角形概念，將這題給解了，他的做法如下：
對△FGH 來說，∠FGH=180-152=28度，而∠F 因為也是正三角形的一角，
　　因此∠FHG=180-28-60=92度，而他的對頂角∠BHE 也會有相同的角度92度。同樣的，∠B 也是正三角形的一角，所以∠BEH=180-92-60=28度，也因此∠CEF=180-28=152度，而因為摺痕DE線段，我們可以知道它平分了∠CEF，所以∠CED=152/2=76度。
　　嘿嘿，誰人的比較好？